Aturan Pencacahan. Kaidah Perkalian Matematika SMA


Kaidah perkalian. Permutasi. Kombinasi. Peluang kelas 11 X1 SMA
Pada dasarnya aturan pencacahan menyangkup tiga hal utama. Berikut adalah penjelasan bab permutasi, kombinasi, dan peluang beserta contoh soal dan pembahasan. Pertama kita akan membahas tentang kaidah perkalian disertai contoh soal dan pembahasan. Semoga membantu.

Kaidah perkalian
Contoh:
1. Ana mempunyai baju merah,hijau, biru, dan ungu. Ana juga memiliki rok hitam, putih, dan coklat. Berapa banyak pasangan baju dan rok yang dapat dipakai Ana?
Jawaban:
Jumlah baju = 4. Jumlah rok = 3. Jadi 3 x 4 = 12. Maksudnya Ana bisa memakai baju dan rok dengan warna : merah hitam, hijau hitam, biru hitam, dan seterusnya sampai 12 pasang.
2. Terdapat angka 3, 4, 5, 6, 7yang hendak disusun menjadi suatu bilangan dengan tiga digit. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun bila angka boleh berulang?
Jawaban:
Angka terdiri dari 3, 4, 5, 6, 7 dengan total ada lima angka. Dan membutuhkan tiga digit angka dari kombinasi lima angka tersebut secara acak. Tiga digit terdiri dari angka ratusan, puluhan dan satuan. Karena angka boleh berulang maka angka ratusan, puluhan dan satuan dapat diisi dengan kelima angka tersebut sehingga 5 x 5 x 5 = 125 kombinasi angka.
3. Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4 akan dibentuk menjadi suatu bilangan yang terdiri dari empat angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun jika:
3a. Angka boleh berulang?
3b. Angka tidak boleh berulang?
Jawaban:
Bilangan yang tersusun dari empat digit artinya adalah bilangan ribuan. Terdiri dari angka ribuan, ratusan, puluhan, satuan.
3a. Angka boleh berulang: Bilangan ribuan yang bisa digunakan adalah 1, 2, 3, 4 dengan total 4 angka. Angka 0 tidak dipakai karena tidak mungkin menjadi bilangan ribuan (angka 0 tidak mungkin menjadi awal susunan bilangan). Bilangan ratusan yang bisa digunakan adalah 0, 1, 2, 3, 4 dengan total 5 angka. Bilangan puluhan yang dapat digunakan juga 5 angka. Bilangan satuan yang dapat digunakan juga 5 angka. Jadi ribuan x ratusan x puluhan x satuan =4 x 5 x 5 x 5 = 500.
3b. Angka tidak boleh berulang: Bilangan ribuan dapat diisi dengan 4 angka (1, 2, 3, 4). Bilangan ratusan dapat diisi dengan 4 angka karena salah satu angka sudah terpakai di angka ribuan. Bilangan puluhan dapat diisi dengan 3 angka karena dua angka sudah terpakai di angka ribuan dan ratusan. Bilangan satuan dapat diisi dengan 2 angka karena 3 angka sebelumnya sudah dipakai oleh ribuan, puluhan dan satuan. Karena tidak boleh diulang maka ribuan x ratusan x puluhan x satuan = 4 x 4 x 3 x 2 = 96.

Contoh soal.
1. Dari angka-angka 0, 1 akan dibentuk menjadi susunan bilangan yang terdiri dari dua angka. Tentukan banyaknya susunan bilangan yang dapat dibentuk jika angka boleh berulang dan angka tidak boleh berulang!
Pembahasan:
Karena terdiri dari dua digit, berarti yang dimaksud adalah bilangan puluhan. 0 tidak mungkin menjadi bilangan puluhan (angka 0 tidak bisa  menjadi awal suatu bilangan). Jadi hanya satu angka yang bisa menjadi bilangan puluhan yakni angka 1. Jadi puluhan x satuan = 1 x 2 = 2 kombinasi angka puluhan. Terdiri atas 10 dan 11 saja.
2. Dari angka-angka 3, 4 akan disusun menjadi bilangan yang terdiri atas dua digit. Tentukan susunan angka yang dapat dibentuk jika angka boleh berulang!
Pembahasan:
Jika angka boleh berulang, maka bilangan puluhan dapat diisi dengan angka 3 dan 4 yang berarti dua angka. Bilangan satuan juga dapat diisi dengan dua angka. Jadi 2 x 2 = 4 kombinasi angka. Terdiri dari 34, 33, 43, 44.
3. Doni memiliki sepatu warna hijau, putih, merah, dan hitam. Sepatu itu akan dipasangkan dengan dua stel celana berwarna putih dan hitam. Tak lupa ia juga memiliki baju berwarna merah, hitam dan biru. Berapa banyak kombinasi pakaian yang dapat dipakai Doni?
Pembahasan:
Total sepatu = 4. Total celana = 2. Total baju = 3. Jadi 4 x 2 x 3 = 24 kombinasi pakaian.
4. Dari angka 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan dibentuk susunan bilangan ganjil yang terdiri dari empat angka dan angka boleh berulang. Tentukan berapa banyak bilangan yang dapat terbentuk dari angka-angka tersebut!
Pembahasan:
Bilangan ganjil selalu memiliki susunan dengan bilangan satuan adalah angka ganjil. Angka ganjil ada 3 angka. Jadi bilangan satuan dapat diisi dengan 3 angka. Bilangan puluhan, ratusan, dan ribuan dapat diisi dengan semua angka (ada 6 angka) karena boleh berulang. Jadi 6 x 6 x 6 x 3 = 648.
5. Terdapat angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan disusun menjadi bilangan genap yang terdiri dari empat digit dengan angka-angka yang tidak boleh berulang. Tentukan banyak bilangan genap yang dapat terbentuk dari angka-angka tersebut!
Pembahasan:
Bilangan genap selalu terdiri dari bilangan satuan yang merupakan bilangan genap Angka genap ada 3 angka. Bilangan puluhan dapat diisi dengan 6 angka karena salah satu angka sudah terpakai di bilangan satuan. Bilangan ratusan dapat diisi dengan 5 angka karena dua angka sudah dipakai di bilangan puluhan dan satuan. Bilangan ribuan dapat diisi oleh 4 angka karena tiga angka sudah terpakai di ratusan, puluhan dan satuan. Jadi 4 x 5 x 6 x 3 = 360.

Iklan

Penulis: Itsnahm

Itsnahm a.k.a. Itsna Hikhmatul Maula. Reading and writing is my soul. So, enjoy to read all my writing here. Thank you.

8 thoughts on “Aturan Pencacahan. Kaidah Perkalian Matematika SMA”

  1. gan saya kurang mengerti dengan soalini tlong dong di ajarin
    1). Bilangan yang terdiri dari angka 2,3,4 di susun 2 angk. tentukan banyaknya angka yang dpt disusun jika:
    A. angka boleh berulang
    B.angka tidak boleh berulang
    2). tentukan banyak bilangna ribuan yang dapat di susun dari angka-angka 0,1,2,3,4,5

    1. Pembahasan ala saya.
      Untuk soal nomor (1), ada kata-kata ‘disusun dua angka’. Jadi nanti kita akan membuat angka puluhan. Terdiri dari puluhan dan satuan
      a. Angka boleh berulang. Berarti angka puluhan bisa diisi dengan tiga angka yang terdiri atas 2, 3, 4. Begitu juga angka untuk angka satuan.
      Jadi bisa disimpulkan tiga kali tiga = sembilan kombinasi angka yang bisa dibentuk.
      b. Angka tidak boleh berulang. Misal angka puluhan tterdiri atas angka 2, 3 ,4 maka angka yang menempati satuan harus selain angka tersebut (dalam artian tiga dikurang satu).
      Jadi disimpulkan 3 x 2 = 6 kombinasi angka yang bisa dipakai

      Semoga bisa membantu.. :))

    2. No.2 itu boleh berulang apa tidak?
      Jika boleh berulang. Maka :
      5×6×6×6 = 1.080 cara
      Jika tidak boleh berulang. Maka :
      5×5×4×3 = 300 cara

      Maaf jika salah. Koreksi lagi.

  2. Perpustakaan Cyber

    Perpustakaan Cyber, Jurnal, Artikel Ilmiah, Referensi, Sains, Teknologi, Materi Pelajaran, Cerita Rakyat, Dongeng.

    ≡Menu

    Home » Matematika » Rumus Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi, Pengertian, Unsur yang Sama, Siklis, Cara Menentukan, Binomial Newton, Peluang, Jawaban, Matematika

    Rumus Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi, Pengertian, Unsur yang Sama, Siklis, Cara Menentukan, Binomial Newton, Peluang, Jawaban, Matematika

    4:38 PM

    Berikut ini adalah materi lengkap permutasi dan kombinasi :

    A. Permutasi

    Dalam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah A, B, C, dan D. Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidat adalah 4 × 3 × 2 = 24 cara. Uraian tersebut akan lebih jelas apabila Anda mengamati skema berikut.

    permutasi
    Gambar 1. Diagram pohon untuk pemilihan 3 pengurus kelas dari 5 calon yang ada.

    Ingatlah :

    Urutan ABC C berbeda dengan urutan ACB. Dalam urutan ABC, sekretaris adalah B. Dalam urutan ACB, sekretaris adalah C.

    Dari skema tersebut diperoleh 24 susunan 3 unsur, yaitu :

    ABC

    ABD

    ACB

    ACD

    ADB

    ADC

    BAC

    BAD

    BCA

    BCD

    BDA

    BCD

    CAB

    CAD

    CBA

    CBD

    CDA

    CDB

    DAB

    DAC

    DBA

    DBC

    DCA

    DCB

    Tampak susunan 3 unsur tersebut memperhatikan urutannya. ABC adalah suatu permutasi, ACB juga suatu permutasi dan keduanya berbeda. Urutan pada 24 susunan itu berlainan. Susunan yang memperhatikan urutannya disebut permutasi. Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga pengertian permutasi? Cobalah nyatakan pengertian permutasi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

    Definisi 1 :

    Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.

    Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur adalah :

    4 × 3 × 2 = 24.

    Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dapat ditulis :

    permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur

    Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapat dipelajari melalui Tabel 1.

    Tabel 1. Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur

    Tempat ke-

    1

    2

    3

    r

    Banyak Cara

    n

    n(n – 1)

    n(n – 1) (n – 2)

    n(n – 1) (n – 2)…(n – (r – 1))

    Dari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalah :

    P(n, r) = n (n – 1) (n – 2) … (n – (r – 1))

    Untuk r = 1, maka :

    P(n, 1) = n

    Untuk r = 2, maka P(n, 2) :

    permutasi 2 unsur yang diambil dari n unsur

    Ingatlah :

    Notasi P(n, k) dapat juga ditulis dengan .

    Untuk r = 3 maka P(n, 3) :

    permutasi 3 unsur yang diambil dari n unsur

    Untuk r = k, diperoleh P(n, k) :

    permutasi k unsur yang diambil dari n unsur

    Untuk r = n, diperoleh :

    P(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(n – r)…(3)(2)(1) = n!

    Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur adalah :

    permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur

    Contoh Soal 2 :

    Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.

    Jawab:

    P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak wiraniaga terpilih).

    menghitung permutasi

    Jadi, terdapat 6 cara.

    Coba Anda tentukan ke-6 susunan yang mungkin tersebut.

    Contoh Soal 3 :

    Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilanganbilangan tersebut yang kurang

    a. dari 500 b. dari 600

    Jawab:

    a. Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 maka angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu angka 4. Salah satu susunan yang mungkin dapat Anda lihat pada Gambar 2. Amati gambar 3.

    Salah satu susunan yang mungkin. Dapatkah Anda menentukan susunan lainnya?
    Gambar 2. Salah satu susunan yang mungkin. Dapatkah Anda menentukan susunan lainnya?

    Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8. Ini berarti Anda harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu :

    menghitung permutasi

    Jadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500. Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.

    Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8.
    Gambar 3. Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8.

    Sekarang, coba Anda buktikan hal ini dengan menggunakan kartu angka. Tentukan pula susunan-susunan yang mungkin.

    b. Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka ratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5.

    4 → angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).

    5 → angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4, 6, 7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).

    Banyak bilangan yang kurang dari 600 adalah :

    Banyak bilangan yang kurang dari 600

    Jadi, terdapat 24 bilangan yang kurang dari 600.

    a. Permutasi Beberapa Unsur yang Sama

    Pada kata “BUKU” terdapat dua huruf yang sama, yaitu U. Permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU” dapat Anda amati pada diagram pohon di bawah.

    diagram pohon

    Coba Anda buat diagram pohon untuk huruf-huruf: U, K, dan U. Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram pohon tersebut adalah sebagai berikut.

    1. BUKU

    6. BUUK

    11. UBUK

    16. KBUU

    21. UUBK

    2. BUUK

    7. UKBU

    12. UBKU

    17. KUUB

    22. UUKB

    3. BKUU

    8. UKUB

    13. KUBU

    18. KUBU

    23. UKBU

    4. BKUU

    9. UUBK

    14. KUUB

    19. UBUK

    24. UKUB

    5. BUKU

    10. UUKB

    15. KBUU

    20. UBKU

    Amatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak ada beberapa susunan huruf yang sama sehingga permutasinya menjadi:

    1. BUKU

    4. UKBU

    7. UUKB

    10. KUBU

    2. BUUK

    5. UKUB

    8. UBUK

    11. KUUB

    3. BKUU

    6. UUBK

    9. UBKU

    12. KBUU

    Banyak permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU” adalah 12 atau 12 = 4 × 3 = (4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 4!/2!

    Sekarang, selidikilah permutasi untuk kata MAMA dengan menggunakan diagram pohon. Jika Anda melakukan dengan benar, terdapat 6 permutasi yang berbeda, yaitu MAMA, MAAM, MMAA, AMMA, AMAM, dan AAMM, karena kata “MAMA” mempunyai dua pasang huruf yang sama.

    Banyak permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasang unsur sama, yaitu M dan dua unsur lainnya, yaitu A adalah :

    permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasang unsur sama

    Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l1 unsur jenis pertama, l2 unsur jenis kedua, l3 unsur jenis ketiga, dan lk unsur jenis ke-k yang sama adalah :

    Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l1 unsur jenis pertama, l2 unsur jenis kedua, l3 unsur jenis ketiga, dan lk unsur jenis ke-k yang sama
    Contoh Soal 4 :

    Tentukan permutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari kata-kata berikut.

    a. JAYAPURA

    b. MATEMATIKA

    Jawab:

    a. Pada kata “JAYAPURA”, terdapat 3 buah A yang sama sehingga permutasinya adalah P(8, 3) = 8! / 3! = 6.720.

    b. Pada kata “MATEMATIKA” terdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama sehingga permutasinya adalah :

    permutasi kata METEMATIKA

    b. Permutasi Siklis

    Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasi siklis.

    Permutasi Siklis
    Gambar 4. Permutasi Siklis

    Pada Gambar 4. posisi 1 dan posisi 2 menunjukkan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam. Coba Anda amati Gambar 4, apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2? Apabila Anda mengamati dengan saksama maka posisi 1 = posisi 2

    Jadi, permutasi siklis dua unsur mempunyai satu cara.

    Pada permutasi siklis dua unsur, satu unsur ditetapkan sebagai titik acuan. Sementara, satu unsur yang lainnya ditempatkan dalam 1! cara atau (2 – 1)! cara. Agar Anda lebih memahami permutasi siklis, pelajari uraian berikut ini. Misalkan, dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar. Banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat diterangkan sebagai berikut.

    Banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar
    Gambar 5. Banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar.

    Dengan cara yang sama, Anda dapat membuat formasi lingkaran untuk titik pangkal B, C, dan D. Hasil dari seluruh formasi lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.

    1. ABCD

    7. BACD

    13. CABD

    19. DABC

    2. ABDC

    8. BADC

    14. CADB

    20. DACB

    3. ACBD

    9. BCAD

    15. CBAD

    21. DBAC

    4. ACDB

    10. BCDA

    16. CBDA

    22. DBCA

    5. ADBC

    11. BDAC

    17. CDAB

    23. DCAB

    6. ADCB

    12. BDCA

    18. CDBA

    24. DCBA

    Amati bahwa ada susunan-susunan yang sama, yaitu :

    ABCD = BCDA= = CDAB = DABC

    ACDB = BACD = CDBA = DBAC

    ABDC = BDCA= = CABD= = DCAB

    ADBC = BCAD= = CADB= = DBCA

    ACBD = BDAC = CBDA = DACB

    ADCB = BADC = CBAD = DCBA

    Dengan demikian, dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda, yaitu ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, dan ADCB. Jadi, banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6.

    Pada permutasi siklis dari 4 unsur, ditetapkan satu unsur sebagai titik pangkal, kemudian 3 unsur lainnya ditempatkan dalam 3! cara atau (4 – 1)! cara. Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara.

    Susunan manik-manik pada kalung mirip susunan melingkar, tetapi berbeda dengan permutasi siklis. Pada permutasi siklis, arah putaran diperhatikan, sedangkan pada susunan manik-manik dalam kalung arah putaran tidak diperhatikan. Amati Gambar 6.

    Contoh permutasi siklis
    Gambar 6. Contoh permutasi siklis.

    Dari gambar, susunan manik-manik pada posisi 1 adalah ABC atau ditulis ACB. Adapun susunan manik-manik pada posisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC.

    susunan manik-manik pada posisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC
    Gambar 7. susunan manik-manik pada posisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC.

    Susunan manik-manik pada Gambar 7. adalah sama. Oleh karena itu, banyak cara menyusun 3 manik-manik dalam kalung adalah 1 susunan. Banyaknya cara yang digunakan untuk menyusun 3 manik-manik dalam kalung adalah setengah dari banyak permutasi siklis 3 unsur, yaitu 1 susunan atau (3-1)!/2.

    Untuk n unsur, apabila disusun seperti manik-manik dalam kalung terdapat (n-1)!/2 susunan yang berbeda.

    Ingatlah :

    Susunan pada gambar (a) dan gambar (b) adalah sama karena unsur A dekat dengan D dan B, meskipun titik acuan berbeda.
    Gambar 9. Susunan pada gambar (a) dan gambar (b) adalah sama karena unsur A dekat dengan D dan B, meskipun titik acuan berbeda.

    Contoh Soal 5 :

    a. Delapan orang ilmuwan duduk melingkar di sebuah meja bundar untuk membahas sebuah proyek tertentu. Berapa banyak cara agar para ilmuwan dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?

    b. Dua puluh lima mutiara akan dibuat sebuah kalung. Ada berapa cara mutiara-mutiara itu dapat disusun?

    Pembahasan :

    a. Susunan kedelapan ilmuwan itu adalah (8–1)! = 7! = 5.040 cara.

    b. Banyaknya cara mutiara itu dapat disusun menjadi sebuah kalung adalah :

    (25-1) / 2 = 24!/2 cara

    4. Kombinasi

    Pada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang dari 5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lain halnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

    Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat diterangkan sebagai berikut.

    Dari Subbab A.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsur dari 5 unsur, yaitu :

    ABC

    ADE

    BCD

    CAB

    CDE

    DBC

    EAB

    ECD

    ABD

    AEB

    BCE

    CAD

    CEA

    DBE

    EAC

    EDA

    ABE

    AEC

    BDA

    CAE

    CEB

    DCA

    EAD

    EDB

    ACB

    AED

    BDC

    CBA

    CED

    DCB

    EBA

    EDC

    ACD

    BAC

    BDE

    CBD

    DAB

    DCE

    EBC

    ACE

    BAD

    BEA

    CBE

    DAC

    DEA

    EBD

    ADB

    BAE

    BEC

    CDA

    DAE

    DEB

    ECA

    ADC

    BCA

    BED

    CDB

    DBA

    DEC

    ECB

    Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan itu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan tersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, dan CDE.

    Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebut kombinasi.

    Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian kombinasi? Cobalah nyatakan pengertian kombinasi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pengertian kombinasi yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

    Definisi 3 :

    Kombinasi r unsur dari n unsur adalah himpunan bagian r unsur yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan penyusunan unsur tidak diperhatikan.

    Banyaknya dengan atau atau C =(n, r).

    a. Menentukan Banyak Kombinasi

    Telah diketahui bahwa banyaknya kombinasi 5 unsur berlainan jika disusun sebanyak 3 unsur adalah (5 x 4) / 2 = 10 cara.

    Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur ditulis :

    Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur

    Uraian tersebut memberi gambaran mengenai banyaknya kombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsur yang dirumuskan :

    kombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsur dengan r < n

    Contoh Soal 6 :

    Kerjakan soal-soal berikut.

    a. Diketahui , tentukanlah nilai n.

    b. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas 11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.

    Pembahasan :

    1.

    nilai n banyak cara

    Oleh karena n ≥ r maka yang memenuhi adalah n = 9.

    b. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 siswa, yaitu .

    Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 siswa

    Coba Anda tentukan susunannya dengan diagram pohon.

    Contoh Soal 7 : Soal Ebtanas 2000

    Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah ….

    Jawab:

    Banyak jabat tangan = C(15,2)

    15!/(2!13!) = 105

    Contoh Soal : Soal UMPTN 2000

    Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segaris adalah ….

    Jawab:

    Membuat segitiga dengan memilih 3 titik dari 7 titik yang tersedia adalah masalah kombinasi C(7, 3). Jadi, banyaknya segitiga = C(7,3)

    banyaknya kombinasi segitiga

    b. Binomial Newton

    Di SMP Anda telah mempelajari cara menjabarkan bentuk perpangkatan berikut.

    (a + b)0 = 1
    (a + b)1 = a + b
    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

    Untuk pangkat 4, Anda masih dapat menjabarkannya. Bagaimana menjabarkan (a+b)15? Untuk menyelesaikannya Anda memerlukan rumus umum bentuk perpangkatan tersebut.

    Amati dengan saksama koefisien-koefisien bentuk-bentuk perpangkatan tersebut. Apabila koefisien-koefisien dari bentuk perpangkatan dituliskan dalam bentuk diagram, diperoleh :

    Segitiga Pascal

    Diagram itu dikenal dengan nama Segitiga Pascal. Amati pola Segitiga Pascal tersebut.

    bagi Segitiga Pascal

    Karena :

    simbol penulisan baris segitiga pascal

    maka pola Segitiga Pascal tersebut dapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasi berikut.

    pola Segitiga Pascal tersebut dapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasi

    Dari uraian tersebut, bentuk perpangkatan dapat dituliskan sebagai berikut.

    bentuk perpangkatan segitiga pascal

    Secara umum bentuk (a + b)n dapat ditulis menjadi :

    bentuk abn

    dengan :

    bentuk nr bentuk abn

    Dengan demikian,

    binomial Newton (ekspansi binomial)

    Bentuk tersebut dinamakan binomial Newton (ekspansi binomial).

    Contoh 9 :

    Jabarkan dan sederhanakan bentuk (x2 + 2y)5.

    Penyelesaian :

    menyederhanan bentuk

    Anda sekarang sudah mengetahui Permutasi dan Kombinasi. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

    Referensi :

    Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.

    Share ke:

    Facebook

    Google+

    Twitter

    Artikel Terkait Rumus Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi, Pengertian, Unsur yang Sama, Siklis, Cara Menentukan, Binomial Newton, Peluang, Jawaban, Matematika :
    undefined
    undefined …

    undefined
    undefined …

    undefined
    undefined …

    undefined
    undefined …

    undefined
    undefined …

    5 komentar:

    elva nurat

    pusingggggggg
    Reply

    yzd

    sangat membantu sekali
    Reply

    Rifa Kha

    terima kasih 🙂 sangat membantu
    Reply

    Anonymous

    thx bgt

    Reply

    sabila ahmad

    Ekonomi ada gak admin?
    Reply

    Add comment

    Load more…

    Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
    Aturan Berkomentar :
    1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
    2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
    Terima kasih.

    Newer Post Older Post Home

    Search

    Follow by Email

    Follow @perpustakaan_id

    Entri Populer

    Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Sifat-sifat Notasi Sigma, Tak Hingga, Hitung Keuangan, Bunga Tunggal Majemuk Anuitas, Matematika

    Pernahkah kalian mengamati lingkungan sekitar? Di sekeliling kalian tentulah banyak terjadi hal-hal yang bersifat rutin. Kejadian rutin ada…

    Labels

    ◦ Agama dan Kepercayaan
    ◦ Agama Islam
    ◦ Alpukat
    ◦ Anabolisme
    ◦ Animalia
    ◦ Antropologi
    ◦ Apel
    ◦ Artikel dan Makalah
    ◦ Asam dan Basa
    ◦ Atom
    ◦ Bahasa Indonesia
    ◦ Batuan dan Tanah
    ◦ Benzena
    ◦ Biofuel
    ◦ Biogas
    ◦ Biologi
    ◦ Bioteknologi
    ◦ Budaya
    ◦ Bumi dan Tata Surya
    ◦ Contoh Soal
    ◦ Cuaca dan Iklim
    ◦ Daun Mint
    ◦ Desa dan Kota
    ◦ Ekonomi
    ◦ Ekosistem
    ◦ Enzim
    ◦ Fermentasi
    ◦ Fisika
    ◦ Fotosintesis
    ◦ Fungi
    ◦ Genetika
    ◦ Geografi
    ◦ Hidrokarbon
    ◦ Hidrosfer
    ◦ Hormon Tumbuhan
    ◦ Hukum Dasar Kimia
    ◦ Hukum Mendel
    ◦ Ilmu Hukum
    ◦ Ilmu Nutrisi
    ◦ Inspirasi Muda
    ◦ IPTEK
    ◦ Jahe
    ◦ Jaringan Hewan
    ◦ Jaringan Tumbuhan
    ◦ Jurnal
    ◦ Karbon
    ◦ Katabolisme
    ◦ Keanekaragaman Hayati
    ◦ Kemangi
    ◦ Kesenian
    ◦ Kimia
    ◦ Larutan
    ◦ Lingkungan
    ◦ Lomba
    ◦ Makanan Sehat
    ◦ Makromolekul
    ◦ Matematika
    ◦ Metabolisme
    ◦ Mikroalga
    ◦ Mikroorganisme
    ◦ Minyak Bumi
    ◦ Molekul
    ◦ Mutasi
    ◦ News
    ◦ Obat-obatan
    ◦ Organ Tumbuhan
    ◦ Panduan dan Pedoman
    ◦ Pengangkutan Tumbuhan
    ◦ Penginderaan Jauh
    ◦ Perhitungan Kimia
    ◦ Pertumbuhan Tanaman
    ◦ Pertumbuhan Tumbuhan
    ◦ Peta
    ◦ Planologi
    ◦ Plantae
    ◦ Prokariotik
    ◦ Protista
    ◦ Pupuk
    ◦ Radioaktif
    ◦ Reaksi Kimia
    ◦ Reduksi dan Oksidasi
    ◦ Respirasi
    ◦ Sejarah
    ◦ Sel
    ◦ Sel Bahan Bakar
    ◦ SIG
    ◦ Sirih
    ◦ Sirsak
    ◦ Sistem Ekskresi
    ◦ Sistem Gerak
    ◦ Sistem Imun (Kekebalan Tubuh)
    ◦ Sistem Indera
    ◦ Sistem Organ
    ◦ Sistem Pencernaan Makanan
    ◦ Sistem Peredaran Darah
    ◦ Sistem Periodik Unsur
    ◦ Sistem Pernapasan
    ◦ Sistem Regulasi / Koordinasi
    ◦ Sistem Reproduksi
    ◦ Sosiologi
    ◦ Sumber Daya Manusia
    ◦ Teh
    ◦ Teh Hijau
    ◦ Tomat
    ◦ Totipotensi Tumbuhan
    ◦ Transpor Zat
    ◦ Virus

    © Perpustakaan Cyber. Powered by Blogger.

    Alexa Certified Traffic Ranking for perpustakaancyber.blogspot.com

    Copyright © Perpustakaan Cyber Template SEO elite

  3. Banyak bilangan antara 3000-9000 yg dpt disusun dri angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dgn tdk ada angka yg sama adalah…
    Tolong bantuannya

  4. tolong bantu, bilangan yang terdiri atas 3 angka yang berbeda disusun dari angka 2,3,4,5,6,7,8 tentukan banyaknya bilangan dan angka-angka yang berlainan & lebih kecil dari 500

Ingin berkomentar?

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s